Stückzahl und Umsatz - Teil 2
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Hast du erwartet, dass Zickler beim Betrachten der Ergebnisse zufrieden ist? Natürlich nicht:
„Wieder nur Bildchen, was haben Sie sich denn dabei gedacht?. Wenn ich die der Unternehmensleitung vorlege verlieren wir alle unsern Job. Die wollen dort oben doch keine Bildchen, sondern Zahlen. Das werden Sie doch noch hinkriegen, oder haben Sie die Schule nach der Klasse 8 verlassen, oder vielleicht in der Klasse 9 still vor sich hinpubertiert? Ich will meine Fragen - Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? - anhand von anständigen Rechnungen beantwortet haben. Wenn Ihnen das nicht gelingt, dann kürze ich Ihr Gehalt auf das eines Hilfsarbeiters und stelle Sie beide ans Fließband.“
Schlau und Listig wollen natürlich nicht ihre Designerklamotten gegen Blaumänner vertauschen und machen sich an die Arbeit. Du hast aber sicher in der Klasse 9 gut aufgepasst und löst die Aufgaben mit der linken Hand.
Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.
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Aufgabe 4.a
Nenne aufgrund des in Aufgabe 3.e gezeichneten Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Umsatz beschreibt.
Lösung
Der Graph ist eine Parabel. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz wird also durch eine Quadratische Funktion beschrieben.
Kompetenzen
- Erkennen einer Parabel als Graph einer Quadratischen Funktion.
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Aufgabe 4.b
Gib die Allgemeine Form und die Scheitelpunktform des Funktionsterms und der Funktionsgleichung dieses Funktionstyps an.
Erläutere die Bedeutung der in den jeweiligen Funktionstermen vorkommenden Parameter.
Lösung
Allgemeine Form
Der Funktionsterm lautet \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) und wird meist mit \(f(x)\) bezeichnet. Man schreibt dann \(f(x)=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\).
Dabei ist
- \(a\) der Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor und
- \(c\) der \(y\)-Achsenabschnitt, d.h. der Wert, an dem der Graph die Hochachse schneidet. Es handelt sich dabei also um den Funktionswert an der Stelle Null.
Die Funktionsgleichung lautet \(y=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\). Man kann wegen \(f(x)=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) die Funktionsgleichung auch schreiben als \(y=f(x)\).
In unserem konkreten Beispiel mit den Variablen \(z\) und \(u\) lautet der Funktionsterm \(a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\), wir bezeichnen ihn mit \(u(z)\) und schreiben \(u(z) = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\).
Die Funktionsgleichung lautet dann \(u = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\).
Scheitelpunktform
Der Funktionsterm lautet \(a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\) und wird meist mit \(f(x)\) bezeichnet. Man schreibt dann \(f(x)=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\).
Dabei ist
- \(a\) der Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor und
- \({\rm{S}}\left( {d|e} \right)\) der Scheitelpunkt der Parabel.
Die Funktionsgleichung lautet \(y=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\). Man kann wegen \(f(x)=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\) die Funktionsgleichung auch schreiben als \(y=f(x)\).
In unserem konkreten Beispiel mit den Variablen \(z\) und \(u\) lautet der Funktionsterm \(a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\), wir bezeichnen ihn mit \(u(z)\) und schreiben \(u(z) = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\).
Die Funktionsgleichung lautet dann \(u = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\).
Kompetenzen
- Nennen des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner und in Scheitelpunktform und korrektes Bezeichnen dieses Funktionsterms
- Nennen der Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner und in Scheitelpunktform
- Nennen der Bedeutung der Parameter \(a\) und \(c\) bzw. \(\left(d|e\right)\) in den Funktionstermen einer Quadratischen Funktion
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Aufgabe 4.c
Bestimme auf zwei unterschiedlichen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Umsatz \(u\) beschreibt.
1. Weg
Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Preis und Umsatz her.
Tipp
Der Umsatz ist das Produkt aus Stückzahl und Stückpreis, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Stückpreis lautet \(p(z)=-0{,}0001 \cdot z +4\).
Lösung
\[\begin{aligned}u(z) &= p(z) \cdot z\\ &= \left( { - 0{,}0001 \cdot z + 4} \right) \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\end{aligned}\]
Kompetenzen
- Modellieren eines Sachverhalts
- Einfache Termumformungen
2. Weg
Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.
Tipp
Sind \({\rm{P}}(x_1|y_1)\), \({\rm{Q}}(x_2|y_2)\) und \({\rm{R}}(x_3|y_3)\) drei Punkte einer Parabel, dann muss für diese drei Punkte die Funktionsgleichung wahr sein, d.h. die drei folgenden Gleichungen müssen erfüllt sein:
\(\left| \begin{array}{l}{y_1} = a \cdot {x_1}^2 + b \cdot {x_1} + c\\{y_2} = a \cdot {x_2}^2 + b \cdot {x_2} + c\\{y_3} = a \cdot {x_3}^2 + b \cdot {x_3} + c\end{array} \right.\)
Lösung
Wir nutzen die drei Punkte \({\rm{P}}(13000|35100)\), \({\rm{Q}}(15000|37500)\) und \({\rm{R}}(17000|39100)\).
\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= u(13000)\\37500 &= u(15000)\\39100 &= u(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\37500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\39100 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-35100 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\4000 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-4800 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a = - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 4\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = 0}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}0 &= c\\4 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)
Lösung mit GeoGebra
u(z):=a*z^2+b*z+c
Löse({35100=u(13000),37500=u(15000),39100=u(17000)},{a,b,c})
Daher lautet der Funktionsterm \(u(z)=- 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\).
Kompetenzen
- Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten
- Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
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Aufgabe 4.d
Kontrolliere rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Umsatz korrekt beschreibt.
Erklärvideo
Datenschutzhinweis
Sobald das hier eingebettete Video abgespielt wird, erhält YouTube als externer Anbieter diese Daten von Ihnen übermittelt.Lösung
Einsetzen der Wertepaare in die Funktionsgleichung \(u = - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\) ergibt:
\[\begin{aligned}35100 &= - 0{,}0001 \cdot {13000^2} + 4 \cdot 13000 & (w)\\37500 &= - 0{,}0001 \cdot {15000^2} + 4 \cdot 15000 & (w)\\39100 &= - 0{,}0001 \cdot {17000^2} + 4 \cdot 17000 & (w)\end{aligned}\]Kompetenzen
- Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
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Aufgabe 4.e
Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Umsatz \(u\) graphisch darstellt.
Lösung
Kompetenzen
- Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
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Aufgabe 4.f
Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.
Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.g.
Tipp
Es muss ein Termwert berechnet werden.
Lösung
Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.
\[u\left( {9500} \right) = - 0{,}0001 \cdot {9500^2} + 4 \cdot 9500 = 28975\]Lösung mit GeoGebra
u(z):=-0.0001*z^2+4*z
u(9500)Wenn die Firma 9500 Aufkleber verkauft, liegt der Umsatz bei 28975,- €.
Dies stimmt mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.g überein.
Kompetenzen
- Mathematisieren eines Sachverhalts
- Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Quadratischen Funktion
- Berechnen des Wertes eines Quadratischen Terms
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Aufgabe 4.g
Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.
Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.h.
Tipp
Es muss die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden.
Lösung
Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 30000, setzt also den Funktionsterm gleich 30000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.
\[\begin{aligned}u\left(z\right) &= 30000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &= 30000 \quad|-30000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z -30000&= 0\end{aligned}\]Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung
\[\begin{aligned}{z^2} - 40000 \cdot z + 20000^2 - 20000^2 \,{+\,300000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2}\,{-\,100000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2} - 10000^2 &= 0\\\left( {z - 20000 + 10000} \right) \cdot \left( {z - 20000 - 10000} \right) &= 0\\z = 10000 &\vee z = 30000\\L &= \left\{ {10000;30000} \right\}\end{aligned}\]oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel ("Mitternachtsformel")
\[\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( { - 30000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} &= \frac{{ - 4 \pm 2}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} = 30000\; &; \;{z_2} = 10000\\L &= \left\{ {10000;30000} \right\}\end{aligned}\]Lösung mit GeoGebra
u(z):=-0.0001*z^2+4*z
Löse(u(z)=30000,z)
Einen Umsatz von 30000,-€ macht die Firma, wenn sie entweder 10000 oder aber 30000 Aufkleber verkauft.
Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 3.h überein.
Kompetenzen
- Mathematisieren eines Sachverhalts
- Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion
- Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
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Aufgabe 4.h
Beantworte rechnerisch die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.
Vergleiche das Ergebnis mit dem von Aufgabe 3.i.
Tipp
Es muss die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden.
Lösung
Zur Beantwortung der Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.
\(\begin{aligned}u\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &= 0\end{aligned}\)Diese Quadratische Gleichung löst du am einfachsten, wenn du auf der linken Seite der Gleichung den Faktor \(- 0{,}0001 \cdot z\) ausklammerst.
\(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot z \cdot \left( {z - 40000} \right) &= 0\\z = 0 &\vee z = 40000\\L &= \left\{ 0\,;\,40000 \right\}\end{aligned}\)Lösung mit GeoGebra
u(z):=-0.0001*z^2+4*z
Löse(u(z)=0,z)
Überhaupt Umsatz macht die Firma, wenn sie mehr als 0 und weniger als 40000 Aufkleber verkauft.
Dies stimmt mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.g überein.
Kompetenzen
- Mathematisieren eines Sachverhalts
- Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
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Aufgabe 4.i
Beantworte rechnerisch die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.
Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.j.
Tipp
Der Funktionsterm muss in die Scheitelpunktform umgewandelt werden.Lösung
Zur Beantwortung der vierten Frage wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um.
\(\begin{aligned}u\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 40000 \cdot z} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 20000 \cdot z} + 20000^2 - 20000^2\right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 20000} \right)}^2} - 400000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 20000} \right)^2} + 40000\end{aligned}\)Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 20000\) mit dem Funktionswert \(u=40000\).
Wenn die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkauft, dann ist der Umsatz am größten und beträgt 40000,-€.
Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 3.j überein.
Lösung mit GeoGebra
u(z):=-0.0001*z^2+4*z
Extremum(u(z))
Um diesen maximalen Umsatz zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(20000)=-0{,}0001 \cdot 20000 + 4 = 2\]zum Preis von 2,-€ verkauft werden.
Kompetenzen
- Mathematisieren eines Sachverhalts
- Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
- Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Term der Scheitelpunktform
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