Wir hatten bereits auf der Eingangsseite angekündigt, dass man mit Hilfe des Skalarproduktes Winkelweiten, genauer die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen kann.
Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei vom Nullvektor \(\vec 0\) verschiedene Vektoren. Unter dem Winkel zwischen den Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) versteht man den nicht überstumpfen Winkel zwischen den beiden die Vektoren repräsentierenden Pfeile. Die Weite dieses Winkels bezeichnet man meistens mit dem griechischen Buchstaben \(\varphi \), (gelesen "Phi"), sie hat die Maßeinheit (\(1^\circ \)).
Diese Winkelweite \(\varphi\) berechnet sich durch\[\cos (\varphi ) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}}\;\;\;\left( { = \frac{{{u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3}}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \cdot \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}} \right)\]bzw.\[\varphi = \arccos \left( {\frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}}} \right)\;\;\;\left( { = \arccos \left( {\frac{{{u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3}}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \cdot \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}} \right)} \right)\]Im folgenden Video erklärt dir Jenny von "Einfach Mathe!" an einem konkreten Beispiel, wie du die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen kannst.