Berechnen von Flächeninhalten mit bestimmten Integralen
Kursthemen
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So berechnest du den Flächeninhalt zwischen einem Graph und der x-Achse, wenn der Graph im Inneren des Integrationsbereichs nur oberhalb der x-Achse verläuft
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Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit dem Funktionsterm \(f(x)\), zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Definitionsbereich von \(f\) und sei \(f\) über dem Intervall \(\left [x_1;x_2\right]\) integrierbar.
Sei weiter \(G_f\) der Graph der Funktion \(f\) und liege der Graph der Funktion zwischen \(x_1\) und \(x_2\) oberhalb der \(x\)-Achse. Dann berechnet sich die Maßzahl \(A\) des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen \(G_f\), der \(x\)-Achse und den beiden Parallelen zur \(y\)-Achse an den Stellen \(x_1\) bzw. \(x_2\) durch
\[A = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f(x)\;dx} = F({x_2}) - F({x_1})\]
Hinweis
Die Stellen \(x_1\) und \(x_2\)
- sind dir entweder vorgegeben oder aber
- du musst sie selbst berechnen. Sie sind die Schnittstellen von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen).
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So berechnest du den Flächeninhalt zwischen einem Graph und der x-Achse, wenn der Graph im Inneren des Integrationsbereichs nur unterhalb der x-Achse verläuft
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Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit dem Funktionsterm \(f(x)\), zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Definitionsbereich von \(f\) und sei \(f\) über dem Intervall \({x_1};{x_2}\) integrierbar.
Sei weiter \(G_f\) der Graph der Funktion \(f\) und liege der Graph der Funktion zwischen \(x_1\) und \(x_2\) unterhalb der \(x\)-Achse. Dann berechnet sich die Maßzahl \(A\) des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen \(G_f\), der \(x\)-Achse und den beiden Parallelen zur \(y\)-Achse an den Stellen \(x_1\) bzw. \(x_2\) durch
\[A = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f(x)\;dx} } \right| = \left| {F({x_2}) - F({x_1})} \right|\]
Hinweis
Die Stellen \(x_1\) und \(x_2\)
- sind dir entweder vorgegeben oder aber
- du musst sie selbst berechnen. Sie sind die Schnittstellen von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen).
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So berechnest du den Flächeninhalt zwischen einem Graph und der x-Achse, wenn der Graph im Inneren des Integrationsbereichs sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft
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Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit dem Funktionsterm \(f(x)\), zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Definitionsbereich von \(f\) und sei \(f\) über dem Intervall \({x_1};{x_2}\) integrierbar.
Sei weiter \(G_f\) der Graph der Funktion \(f\) und liege der Graph der Funktion zwischen \(x_1\) und \(x_2\) teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der \(x\)-Achse.
Dann schneidet der Graph \(G_f\) die \(x\)-Achse im Integrationsbereich \({x_1};{x_2}\) an mindestens einer Stelle \(x_{\rm{N}}\). Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass der Graph die Abszisse lediglich an einer Stelle \(x_{\rm{N}}\) schneidet.
Dann berechnet sich die Maßzahl \(A\) des Flächeninhalts der Fläche zwischen dem Graphen \(G_f\), der \(x\)-Achse und den beiden Parallelen zur \(y\)-Achse an den Stellen \(x_1\) bzw. \(x_2\) durch
\[A = A_1+A_2=\left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_{\rm{N}}}} {f(x)\;dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_{\rm{N}}}}^{{x_2}} {f(x)\;dx} } \right| = \left| {F({x_{\rm{N}}}) - F({x_1})} \right| + \left| {F({x_2}) - F({x_{\rm{N}}})} \right|\]
Hinweise
Die Stellen \(x_1\) und \(x_2\)
- sind dir entweder vorgegeben oder aber
- du musst sie selbst berechnen. Sie sind die "äußeren" Schnittstellen von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen).
Die Stelle \(x_{\rm{N}}\) musst du fast immer selbst berechnen. Sie ist eine weitere Schnittstelle von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle), die du möglicherweise oben bereits berechnet hast.
Schneidet der Graph die \(x\)-Achse im Integrationsbereich mehrmals, so muss man entsprechend dem obigen Verfahren ‚von Nullstelle zu Nullstelle’ integrieren.
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So berechnest du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen, wenn sich die Graphen im Inneren des Integrationsbereichs nicht schneiden
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Gegeben seien zwei Funktion \(f\) und \(g\) mit den Funktionstermen \(f(x)\) und \(g(x)\), zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Definitionsbereich von \(f\) und \(g\) und seien \(f\) und \(g\) über dem Intervall \({x_1};{x_2}\) integrierbar.
Seien weiter \(G_f\) bzw. \(G_g\) die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) und liege der Graph \(G_f\) zwischen \(x_1\) und \(x_2\) stets oberhalb des Graphen \(G_g\).
Dann berechnet sich die Maßzahl \(A\) des Flächeninhalts der Fläche zwischen den Graphen \(G_f\) und \(G_g\), der Abszisse und den beiden Parallelen zur \(y\)-Achse an den Stellen \(x_1\) bzw. \(x_2\) durch
\{A = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {h(x)\;dx} } \right| = \left| {\left[ {H(x)} \right]_{\;{x_1}}^{\;{x_2}}} \right| = \left| {H({x_2}) - H({x_1})} \right|}\]
Dabei gilt für die Hilfsfunktion \(h\): \(h(x)=f(x)-g(x)\) bzw. \(H(x)=F(x)-G(x)\).
Hierbei ist unerheblich, ob die Graphen eventuell teilweise oberhalb oder unterhalb der Abszisse liegen.
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So berechnest du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen, wenn sich die Graphen im Inneren des Integrationsbereichs mindestens einmal schneiden
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Gegeben seien zwei Funktion \(f\) und \(g\) mit den Funktionstermen \(f(x)\) und \(g(x)\), zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) aus dem Definitionsbereich von \(f\) und \(g\) und seien \(f\) und \(g\) über dem Intervall \({x_1};{x_2}\) integrierbar.
Seien weiter \(G_f\) bzw. \(G_g\) die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) und liege der Graph \(G_f\) zwischen \(x_1\) und \(x_2\) teilweise oberhalb und teilweise unterhalb des Graphen \(G_g\).
Dann schneiden sich die Graphen \(G_f\) und \(G_g\) im Integrationsbereich \({x_1};{x_2}\) an mindestens einer Stelle \(x_{\rm{S}}\). Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Graphen sich lediglich an einer Stelle \(x_{\rm{S}}\) schneiden.
Dann berechnet sich die Maßzahl \(A\) des Flächeninhalts der Fläche zwischen den Graphen \(G_f\), \(G_g\) und den beiden Parallelen zur \(y\)-Achse an den Stellen \(x_1\) bzw. \(x_2\) durch
\[A = A_1+A_2=\left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_{\rm{S}}}} {h(x)\;dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_{\rm{S}}}}^{{x_2}} {h(x)\;dx} } \right| = \left| {H({x_{\rm{S}}}) - H({x_1})} \right| + \left| {H({x_2}) - H({x_{\rm{S}}})} \right|\]
Dabei gilt für die Hilfsfunktion \(h\): \(h(x)=f(x)-g(x)\) bzw. \(H(x)=F(x)-G(x)\).
Hierbei ist unerheblich, ob die Graphen eventuell teilweise oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.
Hinweis
Schneiden sich die Graphen im Integrationsbereich mehrmals, so muss man entsprechend dem obigen Verfahren ‚von Schnittstelle zu Schnittstelle’ integrieren.