Title: Skalarprodukt zweier Vektoren
Course: Analytische Geometrie - Skalarprodukt

Sprechen wir in der Analytischen Geometrie vom "Skalarprodukt" zweier Vektoren, dann meinen wir damit lediglich eine - zuerst einmal völlig willkürlich erscheinende - Rechenvorschrift für das "Zusammenrechnen" der einzelnen Komponenten der beiden Vektoren.

Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei Vektoren, dann bezeichnet man als Skalarprodukt \(\vec u \cdot \vec v\) der beiden Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) den Term\[\vec u \cdot \vec v = {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3} \in \mathbb{R}\]Das Ergebnis, also der Wert des Skalarprodukts, ist kein Vektor, sondern eine einfache reelle Zahl (man sagt in der Analytischen Geometrie oft auch Skalar zu solchen einfachen Zahlen - daher der Name Skalarprodukt).

Im folgenden Video erklärt dir Jenny von "Einfach Mathe!" an einem konkreten Beispiel, wie du den Wert des Skalarprodukts zweier Vektoren berechnen kannst.

Natürlich ist die Rechenvorschrift "Skalarprodukt" nicht einfach willkürlich gewählt: Mit Hilfe des Skalarproduktes kannst du die Länge/Betrag eines Vektors (und damit den Abstand zweier Punkte) und die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen. Das Skalarprodukt ist also gewissermaßen das Geodreieck der Analytischen Geometrie, denn auch mit dem Geodreieck kannst du Längen und Winkelweiten bestimmen. Mehr dazu aber auf den folgenden Seiten.