Title: Rechenregeln für das Skalarprodukt von Vektoren
Course: Analytische Geometrie - Skalarprodukt > Section: Skalarprodukt zweier Vektoren

Seien \({\vec u}\), \(\vec v\) und \({\vec w}\) Vektoren und sei \(r \in \mathbb{R}\) ein Skalar.

Dann gilt:

1. \(\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u\) (Kommutativgesetz)

2. \(\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\) (Distributivgesetz)

3. \(r \cdot (\vec u \cdot \vec v) = (r \cdot \vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (r \cdot \vec v)\) (gemischtes Assoziativgesetz

Beweise:

zu 1.

\(\begin{eqnarray}\vec u \cdot \vec v &=& {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3}\\ &=& {v_1} \cdot {u_1} + {v_2} \cdot {u_2} + {v_3} \cdot {u_3}\\ &=& \vec v \cdot \vec u\end{eqnarray}\)

zu 2.

\(\begin{eqnarray}\vec u \cdot (\vec v + \vec w) &=& {u_1} \cdot ({v_1} + {w_1}) + {u_2} \cdot ({v_2} + {w_2}) + {u_3} \cdot ({v_3} + {w_3})\\&=& {u_1} \cdot {v_1} + {u_1} \cdot {w_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_2} \cdot {w_2} + {u_3} \cdot {v_3} + {u_3} \cdot {w_3}\\&=& {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3} + {u_1} \cdot {w_1} + {u_2} \cdot {w_2} + {u_3} \cdot {w_3}\\ &=& \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\end{eqnarray}\)

zu 3.

\(\begin{eqnarray}r \cdot (\vec u \cdot \vec v) &=& r \cdot ({u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3})\\&=& r \cdot {u_1} \cdot {v_1} + r \cdot {u_2} \cdot {v_2} + r \cdot {u_3} \cdot {v_3}\\&=& (r \cdot {u_1}) \cdot {v_1} + (r \cdot {u_2}) \cdot {v_2} + (r \cdot {u_3}) \cdot {v_3}\\ &=& (r \cdot \vec u) \cdot \vec v  \end{eqnarray}\)