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    • Die dekorativen Abbildungen in diesem Kurs stammen von Katerina Limpitsouni (unDraw).

  • Stückzahl und Stückpreis - Teil 1

    • Die Abteilung Mark & Pfennig der Gauß & Euler - AG hat eine Marktuntersuchung machen lassen. Die Sachbearbeiter, Frau Schlau und Herr Listig, tragen dem Abteilungsleiter, Herrn Zickler, die Ergebnisse der Untersuchung vor:

      „Die Nachfrage nach unseren Aufklebern ‚Stefan Raab zum Bundeskanzler’ ist riesengroß. Wir stellen von den Aufklebern zur Zeit 15000 Stück wöchentlich her und können diese zum Stückpreis von 2,50€ verkaufen. Nach der Umfrage könnten wir, wenn wir wöchentlich nur 13000 Stück produzierten, aufgrund der vorhandenen Nachfrage einen Stückpreis von 2,70€ verlangen. Wenn wir dagegen wöchentlich 17000 Stück verkaufen wollten, müssten wir den Preis auf 2,30€ senken.“

      Zickler schaltet schnell: „Das, was Sie mir hier als große Neuigkeit erzählen, ist doch jedem Schüler der Jahrgangsstufe 10 sonnenklar: produziert man mehr von einer Ware und erhöht dadurch das Angebot, dann muss man den Preis senken, um seine Ware zu verkaufen. Produziert man dagegen weniger, dann wird die Ware knapper und man kann den Preis erhöhen. Ich will aber so freundlich sein und davon ausgehen, dass auch Sie das wissen. Aber was können wir für einen Aufkleber verlangen, wenn wir wöchentlich nur noch 9500 Stück herstellen wollen? Und wie viel Aufkleber können wir wöchentlich verkaufen, wenn wir den Preis auf 1,85€ senken? Ich verlange genauere Informationen, und zwar in Form einer Graphik, die den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem entsprechenden Stückpreis anständig darstellt. Und dann will ich meine Fragen beantwortet haben. Machen Sie sich gefälligst sofort an die Arbeit!“

      Schlau und Listig schwitzen einige Stunden, bis sie zu einem Ergebnis kommen. Du schaffst es sicherlich schneller.

    • Aufgabe 1.a

      Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Behandlung des Problems wichtig erscheinen.

      Lösung

      „Die Nachfrage nach unseren Aufklebern ‚Stefan Raab zum Bundeskanzler’ ist riesengroß. Wir stellen von den Aufklebern zur Zeit 15000 Stück wöchentlich her und können diese zum Stückpreis von 2,50€ verkaufen. Nach der Umfrage könnten wir, wenn wir wöchentlich nur 13000 Stück produzierten, aufgrund der vorhandenen Nachfrage einen Stückpreis von 2,70€ verlangen. Wenn wir dagegen wöchentlich 17000 Stück verkaufen wollten, müssten wir den Preis auf 2,30€ senken.“

      Zickler schaltet schnell:„Das, was sie mir hier als große Neuigkeit erzählen, ist doch jedem Schüler der Jahrgangsstufe 11 sonnenklar: produziert man mehr von einer Ware und erhöht dadurch das Angebot, dann muss man den Preis senken, um seine Ware zu verkaufen. Produziert man dagegen weniger, dann wird die Ware knapper und man kann den Preis erhöhen. Ich will aber so freundlich sein und davon ausgehen, dass auch sie das wissen. Aber was können wir für einen Aufkleber verlangen, wenn wir wöchentlich nur noch 9500 Stück herstellen wollen? Und wie viel Aufkleber können wir wöchentlich verkaufen, wenn wir den Preis auf 1,85€ senken? Ich verlange genauere Informationen, und zwar in Form einer Graphik, die den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem entsprechenden Stückpreis anständig darstellt. Und dann will ich meine Fragen beantwortet haben. Machen sie sich gefälligst sofort an die Arbeit!“

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 1.b

      Vervollständige die folgende Tabelle.

      Stückzahl z in Stk

       

      14000

       

      16000

       

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

       

      2,50

       

      2,30

       

       

       
       
      Tipp

      Um jeweils 1000 mehr Aufkleber zu verkaufen muss der Stückpreis um 0,10€ gesenkt werden.

      Lösung

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

      2,60

      2,50

      2,40

      2,30

      2,10

      1,90

      1,70
       

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 1.c

      Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl und dem Stückpreis. Dabei soll die Stückzahl \(z\) auf der Rechtsachse (horizontale Achse) und der Stückpreis \(p\) auf der Hochachse (vertikale Achse) aufgetragen werden.

      Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk; Hochachse: 1cm entspricht 0,50€.

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      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Stückpreises in Abhängigkeit von der Stückzahl

      Kompetenzen

      • Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
    • Aufgabe 1.d

      Trage die Wertepaare aus der Tabelle in Aufgabe 1.b als Punkte in das Koordinatensystem ein.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Stückpreises in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren

      Kompetenzen

      • Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem.
    • Aufgabe 1.e

      Verbinde die eingezeichneten Punkte durch einen Graphen.

      Nenne den Typ dieses Graphen.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Stückpreises in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren und Graph

      Der Graph ist ein Gerade.

      Kompetenzen

      • Erkennen eines geradlinigen Verlaufs von Punkten.
    • Aufgabe 1.f

      Der Graph schneidet die Hochachse in einem Punkt.

      Gib die Koordinaten diese Punktes an.

      Erläutere die – zugegebenermaßen etwas unrealistische – Bedeutung der Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Der Graph schneidet die Hochachse (p-Achse) im Punkt Sp(0|4).

      Wenn die Firma keine Aufkleber mehr verkaufen würde, könnte sie (rein theoretisch) einen Aufkleber für 4,-€ verkaufen.

      Kompetenzen

      • Ablesen der Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem, insbesondere der Schnittpunkte eines Graphen mit den Koordinatenachsen.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 1.g

      Der Graph schneidet die Rechtsachse in einem Punkt.

      Gib die Koordinaten dieses Punktes an.

      Erläutere die – zugegebenermaßen etwas unrealistische – Bedeutung der Koordinaten dieses Punktes im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Der Graph schneidet die Rechtsachse (z-Achse) im Punkt Sz(40000|0).

      Wenn die Firma wöchentlich 40000 Aufkleber herstellen würde, müsste sie diese für 0,-€ abgegeben, also verschenken.

      Kompetenzen

      • Ablesen der Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem, insbesondere der Schnittpunkte eines Graphen mit den Koordinatenachsen.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 1.h

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Tipp

      Gehe auf der Rechtsachse zur Stelle 9500.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage liest man am Graphen den Funktionswert zur Stelle 9500 ab und erhält 3,05.

      Wenn die Firma wöchentlich nur noch 9500 Aufkleber herstellt, kann sie für einen Aufkleber 3,05€ verlangen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 1.i

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Tipp

      Gehe auf der Hochachse zum Funktionswert 1,85.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage liest man am Graphen die Stelle zum Funktionswert 1,85 ab und erhält 21500.

      Wenn die Firma den Preis auf 1,85€ senkt, kann sie wöchentlich 21500 Aufkleber verkaufen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.

  • Stückzahl und Stückpreis - Teil 2

    • Nachdem Schlau und Listig ihre Ergebnisse vorgetragen haben, ist Zickler aber nicht zufrieden:

      „Das kann doch nicht wahr sein, zeigen Sie doch wenigstens einmal ein klein wenig Eigeninitiative! Bildchen malen können Schüler der Klasse 5 auch. Was haben Sie denn in der Schule in der Klasse 8 gemacht? Ich will den Funktionsterm, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem entsprechenden Stückpreis beschreibt. Und ich erwarte natürlich auch, dass Sie mir meine beiden Fragen, nämlich was wir für einen Aufkleber verlangen könnten, wenn wir wöchentlich nur noch 9500 Stück herstellen wollen, und wie viel Aufkleber wir wöchentlich produzieren könnten, wenn wir den Preis auf 1,85€ senken, rechnerisch beantworten. Wehe, wenn Ihnen das nicht gelingt.“

      Bevor ihnen weiteres Ungemach droht, machen sich Schlau und Listig davon und beginnen direkt mit der Arbeit. Du warst in der Klasse 8 natürlich aufmerksam, so dass dir die notwendigen Berechnungen leicht fallen.

      Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.

    • Aufgabe 2.a

      Nenne aufgrund des in Aufgabe 1.e gezeichneten Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Stückpreis beschreibt.

      Lösung

      Der Graph ist eine Gerade. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Stückpreis wird also durch eine Lineare Funktion beschrieben.

      Kompetenzen

      • Erkennen einer Geraden als Graph einer Linearen Funktion
    • Aufgabe 2.b

      Gib die allgemeine Form des Funktionsterms und der Funktionsgleichung dieses Funktionstyps an.

      Erläutere die Bedeutung der im Funktionsterm vorkommenden Parameter.

      Lösung

      Der Funktionsterm einer Linearen Funktion lautet allgemein \(m \cdot x + n\) und wird meist mit \(f(x)\) bezeichnet. Man schreibt dann \(f(x)=m \cdot x +n\).

      Dabei ist

      • \(m\) die Steigung/der Steigungsfaktor und

      • \(n\) der Achsenabschnitt (oft auch \(y\)-Achsenabschnitt), d.h. der Funktionswert zur Stelle 0, an dem der Graph die Hochachse schneidet. Hinweis: Die Stellen, an denen der Graph die Rechtsachse schneidet, bezeichnet man als Nullstellen.

      Allgemein lautet die Funktionsgleichung jeder Funktion \(y=f(x)\). Die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion lautet dann wegen \(f(x)=m \cdot x +n\) gemein \(y=m \cdot x +n\).

      In unserem konkreten Beispiel mit den Variablen \(z\) und \(p\) lautet der Funktionsterm \(m \cdot z + n\), wir bezeichnen ihn mit \(p(z)\) und schreiben \(p(z) = m \cdot z + n\).

      Die Funktionsgleichung lautet dann \(p = m \cdot z + n\).

      Kompetenzen

      • Nennen des Funktionsterms einer Linearen Funktion und korrektes Bezeichnen dieses Funktionsterms
      • Nennen der Funktionsgleichung einer Linearen Funktion
      • Nennen der Bedeutung der Parameter \(m\) und \(n\) im Funktionsterm einer Linearen Funktion
    • Aufgabe 2.c

      Bestimme auf zwei verschiedenen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Stückpreis \(p\) beschreibt.

      1. Weg

      Berechne mit zwei bekannten Formeln zuerst den Steigungsfaktor \(m\) und dann den Achsenabschnitt \(n\).

      Tipp

      Sind \({\rm{P}}(x_1|y_1)\) und \({\rm{Q}}(x_2|y_2)\) zwei Punkte einer Geraden, dann berechnet man den Steigungsfaktor \(m\) durch

      \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

      und den Achsenabschnitt \(n\) durch

      \(n=y_1-m \cdot x_1\)

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      Lösung

      Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|2{,}7)\) und \({\rm{Q}}(17000|2{,}3)\), setzen die Koordinaten der beiden Punkte in die Formeln ein und erhalten

      \(\begin{array}{l} m = \frac{{2,3 - 2,7}}{{17000 - 13000}} = - \frac{1}{{10000}} = - 0,0001\\n = 2,7 - \left( { - 0,0001} \right) \cdot 13000 = 4\end{array}\)

       

      Daher lautet der Funktionsterm \(p(z) = - 0{,}0001 \cdot z + 4\).

      Kompetenzen

      • Berechnen der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von Formeln
      2. Weg

      Berechne die Parameter \(m\) und \(n\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

      Tipp

      Sind \({\rm{P}}(x_1|y_1)\) und \({\rm{Q}}(x_2|y_2)\) zwei Punkte einer Geraden, dann muss für diese beiden Punkte die Funktionsgleichung wahr sein, d.h. die beiden folgenden Gleichungen müssen erfüllt sein.

      \(\left| \begin{array}{l}{y_1} = m \cdot {x_1} + n\\{y_2} = m \cdot {x_2} + n\end{array} \right.\)

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      Lösung

      Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|2{,}7)\) und \({\rm{Q}}(17000|2{,}3)\) und setzen die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein.

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= p(13000) \\ 2{,}3 &= p(17000) \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= m \cdot 13000 + n\\ 2{,}3 &= m \cdot 17000 + n\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\; -2{,}7 = -m \cdot 13000 - n \quad }\\{\left| { + {\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 2{,}7 &= m \cdot 13000 + n\\ -0{,}4 &= m \cdot 4000\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{ \Rightarrow m = \frac{-0{,}4}{4000} = -0,0001}\end{array}}&{\left. {\begin{array}{l}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow n = 2{,}7 + 0{,}0001 \cdot 13000 = 4}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 4 &= n \\ -0{,}0001 &= m \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

       

      Lösung mit GeoGebra
      p(z):=m*z+n
      Löse({2.7=p(13000),2.3=p(17000)},{m,n})

      Daher lautet der Funktionsterm \(p(z) = - 0{,}0001 \cdot z + 4\).

      Kompetenzen

      • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten
      • Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
    • Aufgabe 2.d

      Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Stückpreis korrekt beschreibt.

      Tipp

      Setze einige Wertepaare aus der Tabelle aus Aufgabe 1.b in die Funktionsgleichung ein.

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      Lösung

      Einsetzen dreier Wertepaare in die Funktionsgleichung \(p = - 0{,}00001 \cdot z + 4\) ergibt

      \(\begin{array}{l}2{,}7 = - 0{,}0001 \cdot 13000 + 4\quad(w)\\2{,}5 = - 0{,}0001 \cdot 15000 + 4\quad(w)\\2{,}3 = - 0{,}0001 \cdot 17000 + 4\quad(w)\end{array}\)
       

      Kompetenzen

      • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion erfüllen.
    • Aufgabe 2.e

      Gib die Werte des Steigungsfaktors \(m\) und des Achsenabschnitts \(n\) mit den jeweiligen Maßeinheiten an.

      Erläutere die Bedeutung des Steigungsfaktors und des Achsenabschnitts im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Der Steigungsfaktor ist \(m = \frac{-1}{10000} = -0{,}0001\) bzw. mit Einheiten \(m = \frac{-1}{10000}\,\frac{\rm{€}}{\rm{Stk}}\).
      Wenn die Firma wöchentlich 10000 Aufkleber mehr verkaufen möchte, muss sie den Stückpreis um 1,-€ senken bzw. wenn die Firma den Stückpreis um 1,-€ senkt, kann sie wöchentlich 10000 Aufkleber mehr verkaufen.

      Der Achsenabschnitt ist \(n=4\) bzw. mit Einheiten \(n=4,-\rm{€}\).
      Wenn die Firma keine Aufkleber mehr herstellt, könnte sie (rein theoretisch) einem Stückpreis von 4,-€ verlangen.

      Kompetenzen

      • Interpretieren des Steigungsfaktors einer Linearen Funktion im Sachzusammenhang
      • Interpretieren des Achsenabschnitts einer Linearen Funktion im Sachzusammenhang
    • Aufgabe 2.f

      Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Stückpreis \(p\) graphisch darstellt.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Stückpreises in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Graph und Term

      Kompetenzen

      • Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
    • Aufgabe 2.g

      Berechne, welchen Stückpreis die Firma (rein theoretisch) verlangen könnte, wenn sie überhaupt keine Aufkleber mehr herstellen würde.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1.f.

      Tipp

      Berechne den Achsenabschnitt.

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      Lösung

      Man berechnet den Funktionswert zur Stelle 0, setzt also 0 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

      \(p(0) = -0{,}0001 \cdot 0 + 4 = 4\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      p(z):=-0.0001*z+4
      p(0)

      Wenn man keine Aufkleber mehr herstellen würde, könnte man (rein theoretisch) einen Stückpreis von 4,-€ verlangen.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 1.f überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Linearen Funktion
      • Berechnen des Wertes eines Linearen Terms
    • Aufgabe 2.h

      Berechne, welche Stückzahl die Firma (rein theoretisch) an Aufklebern loswürde, wenn sie diese verschenken würde.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1.g.

      Tipp

      Berechne die Nullstelle.

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      Lösung

      Zur Beantwortung der Frage berechnet man die Stelle zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \(\begin{aligned}p(z) &= 0\\- 0,0001 \cdot z + 4 &= 0 && | - 4\\ - 0,0001 \cdot z &= - 4  && |:\left( { - 0,0001} \right)\\ z &= 40000\\L &= \left\{ {40000} \right\}\end{aligned}\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      p(z):=-0.0001*z+4
      Löse(p(z)=0,z)

      Wenn man die Aufkleber verschenken (also den Preis auf 0,-€ senken) würde, könnte man 40000Stk verschenken.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 1.g überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Linearen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Linearen Gleichung
    • Aufgabe 2.i

      Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1.h.

      Tipp

      Du musst den Funktionswert zu einer Stelle berechnen.

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      Lösung

      Zur Beantwortung der Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

      \(p(9500) = -0{,}0001 \cdot 9500 + 4 = 3{,}05\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      p(z):=-0.0001*z+4
      p(9500)

      Wenn die Firma wöchentlich 9500 Aufkleber herstellt, kann sie für einen Aufkleber 3,05€ verlangen.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 1.h überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Linearen Funktion
      • Berechnen des Wertes eines Linearen Terms
    • Aufgabe 2.j

      Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 1.i.

      Tipp

      Du musst die Stelle zu einem Funktionswert berechnen.

      Erklärvideo
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      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle zum Funktionswert 1,85, setzt also den Funktionsterm gleich 1,85 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \(\begin{aligned}p(z) &= 1,85\\- 0,0001 \cdot z + 4 &= 1{,}85 && | - 4\\ - 0,0001 \cdot z &= - 2,15  && |:\left( { - 0,0001} \right)\\ z &= 21500\\L &= \left\{ {21500} \right\}\end{aligned}\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      p(z):=-0.0001*z+4
      Löse(p(z)=1.85,z)

      Wenn die Firma den Preis auf 1,85€ senkt, kann sie wöchentlich 21500 Aufkleber verkaufen.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 1.i überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Linearen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Linearen Gleichung

  • Stückzahl und Umsatz - Teil 1

    • Wieder erscheinen Schlau und Listig bei Zickler. Ihre Ergebnisse scheinen zwar alle richtig zu sein, aber die beiden erhalten eine weitere Lektion in Sachen Führungsqualität:

      „Die Unternehmensleitung interessiert sich doch nicht dafür, wie viel Stück unserer Aufkleber wir produzieren oder zu welchem Stückpreis wir sie verkaufen. Ständig muss ich mir anhören, wie wichtig der Umsatz in der heutigen Zeit ist. Der Umsatz soll immer möglichst groß sein. Ich hoffe, dass Sie noch wissen, dass der Umsatz das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis ist. Und ich will jetzt von Ihnen genauere Informationen geliefert haben: Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Ab jetzt!“

      Der Verzweiflung nahe machen sich Schlau und Listig an die Arbeit. Du brauchst allerdings nicht zu verzweifeln, sondern kannst die gestellten Fragen bald beantworten.

    • Aufgabe 3.a

      Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Lösung des Problems wichtig erscheinen.

      Lösung

      „Die Unternehmensleitung interessiert sich doch nicht dafür, wie viel Stück unserer Aufkleber wir produzieren oder zu welchem Stückpreis wir sie verkaufen. Ständig muss ich mir anhören, wie wichtig der Umsatz in der heutigen Zeit ist. Der Umsatz soll immer möglichst groß sein. Ich hoffe, dass sie noch wissen, dass der Umsatz das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis ist. Und ich will jetzt von ihnen genauere Informationen geliefert haben: Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Ab jetzt!“

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 3.b

      Vervollständige die folgende Tabelle.

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

      2,60

      2,50

      2,40

      2,30

      2,10

      1,90

      1,70

      Umsatz u in €

       

       

       

       

       

       

       

       
       
      Tipp

      Der Umsatz ist das Produkt aus der Stückzahl und dem Stückpreis.

      Lösung

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Stückpreis p in €

      2,70

      2,60

      2,50

      2,40

      2,30

      2,10

      1,90

      1,70

      Umsatz u in €

      35100

      36400

      37500

      38400

      39100

      39900

      39900

      39100
       

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 3.c

      Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl und dem Umsatz. Dabei soll die Stückzahl \(z\) auf der Rechtsachse und der Umsatz \(u\) auf der Hochachse aufgetragen werden.

      Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk, Hochachse: 1cm entspricht 2500,-€.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl

      Kompetenzen

      • Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
    • Aufgabe 3.d

      Trage die Wertepaare aus der ersten und dritten Zeile der Tabelle in Aufgabe 3.b als Punkte in das Koordinatensystem ein.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren

      Kompetenzen

      • Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem.
    • Aufgabe 3.e

      Verbinde die eingezeichneten Punkte durch einen Graphen.

      Nenne den Typ dieses Graphen.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren und Graph

      Der Graph ist eine Parabel.

      Kompetenzen

      • Erkennen eines parabelförmigen Verlaufs von Punkten.
    • Aufgabe 3.f

      Der Graph schneidet die Rechtsachse in zwei Punkten.

      Gib die Koordinaten dieser Punkte an.

      Erläutere die – zugegebenermaßen teilweise etwas unrealistische – Bedeutung der Koordinaten dieser Punkte im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Die Schnittpunkte mit der Rechtsachse (z-Achse) sind \({{\rm{S}}_{{z_1}}}\left( {0|0} \right)\) und \({{\rm{S}}_{{z_2}}}\left( {40000|0} \right)\).

      Wenn die Firma wöchentlich keinen Aufkleber oder aber 40000 Aufkleber herstellt, macht sie keinen Umsatz.

      Kompetenzen

      • Ablesen der Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem, insbesondere der Schnittpunkte eines Graphen mit den Koordinatenachsen.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.g

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage liest man am Graphen den Funktionswert zur Stelle 9500 ab und erhält ca. 28000.

      Wenn die Firma wöchentlich 9500 Aufkleber verkauft, beträgt der Umsatz ca. 28000,-€.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.h

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage liest man am Graphen die Stellen zum Funktionswert 30000 ab und erhält sowohl 10000 als auch 30000.

      Um einen Umsatz von 30000,-€ zu erzielen, muss die Firma wöchentlichen entweder 10000 Aufkleber oder aber 30000 Aufkleber verkaufen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.i

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der dritten Frage liest man am Graphen ab, zwischen welchen Stellen die Funktionswerte positiv sind, was genau zwischen den beiden Schnittpunkten \({{\rm{S}}_{{z_1}}}\left( {0|0} \right)\) und \({{\rm{S}}_{{z_2}}}\left( {40000|0} \right)\) des Graphen mit der Rechtsachse der Fall ist.

      Ab dem 1. bis zum 39999. wöchentlich verkauften Aufkleber macht die Firma Umsatz.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.
    • Aufgabe 3.j

      Beantworte mit Hilfe des Graphen die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Lösung

      Zur Beantwortung der vierten Frage liest man am Graphen die Koordinaten des Scheitelpunktes ab und erhält \({\rm{S}}\left( {20000|40000} \right)\).

      Wenn die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkauft, ist der Umsatz am größten und beträgt 40000,-€.

      Aus der Tabelle in Aufgabe 1.b kann man leicht schließen, dass die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkaufen kann, wenn der Stückpreis 2,-€ beträgt.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
      • Ablesen der Koordinaten von Punkten eines Graphen im Koordinatensystem.
      • Interpretieren der Koordinaten von Punkten bzw. Wertepaaren im Sachzusammenhang.

  • Stückzahl und Umsatz - Teil 2

    • Hast du erwartet, dass Zickler beim Betrachten der Ergebnisse zufrieden ist? Natürlich nicht:

      „Wieder nur Bildchen, was haben Sie sich denn dabei gedacht?. Wenn ich die der Unternehmensleitung vorlege verlieren wir alle unsern Job. Die wollen dort oben doch keine Bildchen, sondern Zahlen. Das werden Sie doch noch hinkriegen, oder haben Sie die Schule nach der Klasse 8 verlassen, oder vielleicht in der Klasse 9 still vor sich hinpubertiert? Ich will meine Fragen - Wie hoch ist unser Umsatz, wenn wir 9500 Stück produzieren? Wie viel Stück müssen wir produzieren, wenn wir einen Umsatz von 30000,-€ erzielen wollen? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Umsatz? Und schließlich: Bei welcher Stückzahl ist der Umsatz am größten, wie hoch ist er dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? - anhand von anständigen Rechnungen beantwortet haben. Wenn Ihnen das nicht gelingt, dann kürze ich Ihr Gehalt auf das eines Hilfsarbeiters und stelle Sie beide ans Fließband.“

      Schlau und Listig wollen natürlich nicht ihre Designerklamotten gegen Blaumänner vertauschen und machen sich an die Arbeit. Du hast aber sicher in der Klasse 9 gut aufgepasst und löst die Aufgaben mit der linken Hand.

      Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.

    • Aufgabe 4.a

      Nenne aufgrund des in Aufgabe 3.e gezeichneten Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Umsatz beschreibt.

      Lösung

      Der Graph ist eine Parabel. Der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz wird also durch eine Quadratische Funktion beschrieben.

      Kompetenzen

      • Erkennen einer Parabel als Graph einer Quadratischen Funktion.
    • Aufgabe 4.b

      Gib die Allgemeine Form und die Scheitelpunktform des Funktionsterms und der Funktionsgleichung dieses Funktionstyps an.

      Erläutere die Bedeutung der in den jeweiligen Funktionstermen vorkommenden Parameter.

      Lösung
      Allgemeine Form

      Der Funktionsterm lautet \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) und wird meist mit \(f(x)\) bezeichnet. Man schreibt dann \(f(x)=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\).

      Dabei ist

      • \(a\) der Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor und
      • \(c\) der \(y\)-Achsenabschnitt, d.h. der Wert, an dem der Graph die Hochachse schneidet. Es handelt sich dabei also um den Funktionswert an der Stelle Null.

      Die Funktionsgleichung lautet \(y=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\). Man kann wegen \(f(x)=a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) die Funktionsgleichung auch schreiben als \(y=f(x)\).

      In unserem konkreten Beispiel mit den Variablen \(z\) und \(u\) lautet der Funktionsterm \(a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\), wir bezeichnen ihn mit \(u(z)\) und schreiben \(u(z) = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\).

      Die Funktionsgleichung lautet dann \(u = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\).

      Scheitelpunktform

      Der Funktionsterm lautet \(a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\) und wird meist mit \(f(x)\) bezeichnet. Man schreibt dann \(f(x)=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\).

      Dabei ist

      • \(a\) der Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor und
      • \({\rm{S}}\left( {d|e} \right)\) der Scheitelpunkt der Parabel.

      Die Funktionsgleichung lautet \(y=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\). Man kann wegen \(f(x)=a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e\) die Funktionsgleichung auch schreiben als \(y=f(x)\).

      In unserem konkreten Beispiel mit den Variablen \(z\) und \(u\) lautet der Funktionsterm \(a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\), wir bezeichnen ihn mit \(u(z)\) und schreiben \(u(z) = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\).

      Die Funktionsgleichung lautet dann \(u = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\).

      Kompetenzen

      • Nennen des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner und in Scheitelpunktform und korrektes Bezeichnen dieses Funktionsterms
      • Nennen der Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner und in Scheitelpunktform
      • Nennen der Bedeutung der Parameter \(a\) und \(c\) bzw. \(\left(d|e\right)\) in den Funktionstermen einer Quadratischen Funktion
    • Aufgabe 4.c

      Bestimme auf zwei unterschiedlichen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Umsatz \(u\) beschreibt.

      1. Weg

      Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Preis und Umsatz her.

      Tipp

      Der Umsatz ist das Produkt aus Stückzahl und Stückpreis, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Stückpreis lautet \(p(z)=-0{,}0001 \cdot z +4\).

      Lösung

      \[\begin{aligned}u(z) &= p(z) \cdot z\\ &= \left( { - 0{,}0001 \cdot z + 4} \right) \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\end{aligned}\]

      Kompetenzen

      • Modellieren eines Sachverhalts
      • Einfache Termumformungen
      2. Weg

      Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

      Tipp

      Sind \({\rm{P}}(x_1|y_1)\), \({\rm{Q}}(x_2|y_2)\) und \({\rm{R}}(x_3|y_3)\) drei Punkte einer Parabel, dann muss für diese drei Punkte die Funktionsgleichung wahr sein, d.h. die drei folgenden Gleichungen müssen erfüllt sein:

      \(\left| \begin{array}{l}{y_1} = a \cdot {x_1}^2 + b \cdot {x_1} + c\\{y_2} = a \cdot {x_2}^2 + b \cdot {x_2} + c\\{y_3} = a \cdot {x_3}^2 + b \cdot {x_3} + c\end{array} \right.\)

      Lösung

      Wir nutzen die drei Punkte \({\rm{P}}(13000|35100)\), \({\rm{Q}}(15000|37500)\) und \({\rm{R}}(17000|39100)\).

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= u(13000)\\37500 &= u(15000)\\39100 &= u(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\37500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\39100 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-35100 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\4000 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-4800 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}35100 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\2400 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a =  - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 4\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = 0}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}0 &= c\\4 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)

       

      Lösung mit GeoGebra
      u(z):=a*z^2+b*z+c
      Löse({35100=u(13000),37500=u(15000),39100=u(17000)},{a,b,c})

      Daher lautet der Funktionsterm \(u(z)=- 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\).

      Kompetenzen

      • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten
      • Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
    • Aufgabe 4.d

      Kontrolliere rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Umsatz korrekt beschreibt.

      Erklärvideo
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      Lösung

      Einsetzen der Wertepaare in die Funktionsgleichung \(u = - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\) ergibt:

      \[\begin{aligned}35100 &= - 0{,}0001 \cdot {13000^2} + 4 \cdot 13000 & (w)\\37500 &= - 0{,}0001 \cdot {15000^2} + 4 \cdot 15000 & (w)\\39100 &= - 0{,}0001 \cdot {17000^2} + 4 \cdot 17000 & (w)\end{aligned}\]
       

      Kompetenzen

      • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
    • Aufgabe 4.e

      Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Umsatz \(u\) graphisch darstellt.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Umsatzes in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Graph und Term

      Kompetenzen

      • Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
    • Aufgabe 4.f

      Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.g.

      Tipp

      Es muss ein Termwert berechnet werden.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

      \[u\left( {9500} \right) = - 0{,}0001 \cdot {9500^2} + 4 \cdot 9500 = 28975\]
       

      Lösung mit GeoGebra
      u(z):=-0.0001*z^2+4*z
      u(9500)

      Wenn die Firma 9500 Aufkleber verkauft, liegt der Umsatz bei 28975,- €.

      Dies stimmt mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.g überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Quadratischen Funktion
      • Berechnen des Wertes eines Quadratischen Terms
    • Aufgabe 4.g

      Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.h.

      Tipp

      Es muss die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 30000, setzt also den Funktionsterm gleich 30000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \[\begin{aligned}u\left(z\right) &= 30000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &= 30000 \quad|-30000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z -30000&= 0\end{aligned}\]
       

      Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung

      \[\begin{aligned}{z^2} - 40000 \cdot z + 20000^2 - 20000^2 \,{+\,300000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2}\,{-\,100000000} &= 0\\{\left( {z - 20000} \right)^2} - 10000^2 &= 0\\\left( {z - 20000 + 10000} \right) \cdot \left( {z - 20000 - 10000} \right) &= 0\\z = 10000 &\vee z = 30000\\L &= \left\{ {10000;30000} \right\}\end{aligned}\]
       

      oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel ("Mitternachtsformel")

      \[\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 4 \pm \sqrt {{4^2} - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( { - 30000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} &= \frac{{ - 4 \pm 2}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} = 30000\; &; \;{z_2} = 10000\\L &= \left\{ {10000;30000} \right\}\end{aligned}\]
       

      Lösung mit GeoGebra
      u(z):=-0.0001*z^2+4*z
      Löse(u(z)=30000,z)

      Einen Umsatz von 30000,-€ macht die Firma, wenn sie entweder 10000 oder aber 30000 Aufkleber verkauft.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 3.h überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
    • Aufgabe 4.h

      Beantworte rechnerisch die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem von Aufgabe 3.i.

      Tipp

      Es muss die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmt werden.

      Lösung

      Zur Beantwortung der Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \(\begin{aligned}u\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z &= 0\end{aligned}\)
       

      Diese Quadratische Gleichung löst du am einfachsten, wenn du auf der linken Seite der Gleichung den Faktor \(- 0{,}0001 \cdot z\) ausklammerst.

      \(\begin{aligned} - 0{,}0001 \cdot z \cdot \left( {z - 40000} \right) &= 0\\z = 0 &\vee z = 40000\\L &= \left\{ 0\,;\,40000 \right\}\end{aligned}\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      u(z):=-0.0001*z^2+4*z
      Löse(u(z)=0,z)

      Überhaupt Umsatz macht die Firma, wenn sie mehr als 0 und weniger als 40000 Aufkleber verkauft.

      Dies stimmt mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.g überein.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
    • Aufgabe 4.i

      Beantworte rechnerisch die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Aufgabe 3.j.

      Tipp Der Funktionsterm muss in die Scheitelpunktform umgewandelt werden.
      Lösung

      Zur Beantwortung der vierten Frage wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um.

      \(\begin{aligned}u\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 40000 \cdot z} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 20000 \cdot z} + 20000^2 - 20000^2\right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 20000} \right)}^2} - 400000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 20000} \right)^2} + 40000\end{aligned}\)
       

      Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 20000\) mit dem Funktionswert \(u=40000\).

      Wenn die Firma wöchentlich 20000 Aufkleber verkauft, dann ist der Umsatz am größten und beträgt 40000,-€.

      Das Ergebnis stimmt mit dem aus Aufgabe 3.j überein.

      Lösung mit GeoGebra
      u(z):=-0.0001*z^2+4*z
      Extremum(u(z))

      Um diesen maximalen Umsatz zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(20000)=-0{,}0001 \cdot 20000 + 4 = 2\]zum Preis von 2,-€ verkauft werden.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
      • Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Term der Scheitelpunktform

  • Stückzahl und Selbstkosten

    • Haben es Schlau und Listig jetzt endlich geschafft?

      „Sie haben doch überhaupt keine Ahnung vom Geschäft. Entlassen sollte man Sie. Umsatz hin, Umsatz her, was interessiert mich der Umsatz? Wir haben doch auch Kosten bei der Herstellung der Aufkleber. Und die müssen sie doch in ihren Berechnungen berücksichtigen. Mit was für Mitarbeitern muss ich mich hier herumschlagen. Informieren Sie sich gefälligst über unsere Kostenstruktur! Wie hoch sind die Selbstkosten bei einer wöchentlichen Stückzahl von 9500 Aufklebern? Und wie viele Aufkleber produzieren wir, wenn unsere Selbstkosten 40000,-€ betragen?“

      Schlau und Listig verziehen sich wieder und kramen in den Akten. Die wöchentlichen Selbstkosten, so finden sie heraus, setzen sich zusammen aus den Fixkosten, das ist ein fester Grundbetrag von 24000,-€ für Personal, Maschinenpark, Gebühren, usw., und aus den sogenannten Herstellungskosten, die sich als Produkt aus den sogenannten Stückkosten in Höhe von -,80€ pro Stück für Material, Energie, usw. und der Stückzahl ergeben. Also kann Zickler wohl geholfen werden. Schlau und Listig machen sich wiederwillig an die Arbeit.

      Du hast aber bis jetzt gut mitgearbeitet, so dass dir die Lösung dieser Aufgabe leicht fällt.

      Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.

    • Aufgabe 5.a

      Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Lösung des Problems wichtig erscheinen.

      Lösung

      „Sie haben doch überhaupt keine Ahnung vom Geschäft. Entlassen sollte man sie. Umsatz hin, Umsatz her, was interessiert mich der Umsatz? Wir haben doch auch Kosten bei der Herstellung der Aufkleber. Und die müssen sie doch in ihren Berechnungen berücksichtigen. Mit was für Mitarbeitern muss ich mich hier herumschlagen. Informieren sie sich gefälligst über unsere Kostenstruktur! Wie hoch sind die Selbstkosten bei einer wöchentlichen Stückzahl von 9500 Aufklebern? Und wie viele Aufkleber produzieren wir, wenn unsere Selbstkosten 40000,-€ betragen?“

      Schlau und Listig verziehen sich wieder und kramen in den Akten. Die wöchentlichen Selbstkosten, so finden sie heraus, setzen sich zusammen aus den Fixkosten, das ist ein fester Grundbetrag von 24000,-€ für Personal, Maschinenpark, Gebühren, usw., und aus den sogenannten Herstellungskosten, die sich als Produkt aus den sogenannten Stückkosten in Höhe von -,80€ pro Stück für Material, Energie, usw. und der Stückzahl ergeben.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 5.b

      Vervollständige die folgende Tabelle.

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Fixkosten f in €

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      Stückkosten s in €

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      Herstellungskosten h in €

       

       

       

       

       

       

       

       

      Selbstkosten k in €

       

       

       

       

       

       

       

       
       
      Tipp

      Die Herstellungskosten sind das Produkt aus Stückzahl und Stückkosten. Die Selbstkosten sind die Summe aus den Fixkosten und den Herstellungskosten.

      Lösung

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Fixkosten f in €

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      24000

      Stückkosten s in €

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      -,80

      Herstellungskosten h in €

      10400

      11200

      12000

      12800

      13600

      15200

      16800

      18400

      Selbstkosten k in €

      34400

      35200

      36000

      36800

      37600

      39200

      40800

      42400
       

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 5.c

      Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl \(z\) und den Selbstkosten \(k\). Dabei soll die Stückzahl auf der Rechtsachse und die Selbstkosten auf der Hochachse aufgetragen werden.

      Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk, Hochachse: 1cm entspricht 2500,-€.

      Lösung Koordinatensystem zur Darstellung der Selbstkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl

      Kompetenzen

      • Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
    • Aufgabe 5.d

      Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.

      Verbinde die Punkte durch einen Graphen.

      Nenne den Typ dieses Graphen.

      Lösung Koordinatensystem zur Darstellung der Selbstkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren und Graph

      Der Graph ist eine Gerade.

      Kompetenzen

      • Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem
      • Erkennen eines geradlinigen Verlaufs von Punkten
    • Aufgabe 5.e

      Nenne aufgrund des Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und den Selbstkosten beschreibt.

      Gib die allgemeine Form des Funktionsterms und der Funktionsgleichung dieses Funktionstyps an.

      Erläutere die Bedeutung der im Funktionsterm vorkommenden Parameter.

      Lösung

      Der Graph ist eine Gerade. Der Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und den Selbstkosten \(k\) wird durch eine lineare Funktion beschrieben.

      Der Funktionsterm lautet \(k\left(z\right) = m \cdot z + n\) und die Funktionsgleichung \(k = m \cdot z + n\).

      Dabei ist

      • \(m\) die Steigung/der Steigungsfaktor und

      • \(n\) der \(y\)-Achsenabschnitt, d.h. der Wert, an dem der Graph die Hochachse schneidet. Es handelt sich dabei also um den Funktionswert an der Stelle Null.

      Kompetenzen

      • Erkennen einer Geraden als Graph einer Linearen Funktion
      • Nennen des Funktionsterms einer Linearen Funktion und korrektes Bezeichnen dieses Funktionsterms
      • Nennen der Funktionsgleichung einer Linearen Funktion
      • Nennen der Bedeutung der Parameter \(m\) und \(n\) im Funktionsterm einer Linearen Funktion
    • Aufgabe 5.f

      Bestimme auf zwei verschiedenen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Kosten \(k\) beschreibt.

      1. Weg

      Berechne mit zwei bekannten Formeln zuerst den Steigungsfaktor \(m\) und dann den Achsenabschnitt \(n\).

      Lösung

      Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|34400)\) und \({\rm{Q}}(17000|37600)\).

      \[\begin{array}{l} m = \frac{{37600 - 34400}}{{17000 - 13000}} = \frac{4}{5} = 0,8\\n = 34400 - 0,8 \cdot 13000 = 24000\end{array}\]
       

      Daher lautet der Funktionsterm \(k\left(z\right) = 0{,}8 \cdot z + 24000\).

      Kompetenzen

      • Berechnen der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von Formeln
      2. Weg

      Berechne die Parameter \(m\) und \(n\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

      Lösung

      Wir nutzen die beiden Punkte \({\rm{P}}(13000|34400)\) und \({\rm{Q}}(17000|37600)\).

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 34400 &= k(13000) \\ 37600 &= k(17000) \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned}34400 &= m \cdot 13000 + n\\37600 &= m \cdot 17000 + n\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.}\\{\left| { + {\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned}34400 &= m \cdot 13000 + n\\3200 &= m \cdot 4000\end{aligned}} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{ \Rightarrow m = \frac{3200}{4000} = 0{,}8}\end{array}}&{\left. {\begin{array}{l}{}\\{}\end{array}} \right\} \Rightarrow n = 34400 - 0{,}8 \cdot 13000 = 24000}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| {\begin{aligned} 24000 &= n \\ 0{,}8 &= m \end{aligned}} \right.} \end{array}\)

       

      Lösung mit GeoGebra
      k(z):=m*z+n
      Löse({34400=k(13000),37600=k(17000)},{m,n})

      Daher lautet der Funktionsterm \(k\left(z\right) = 0{,}8 \cdot z + 24000\).

      Kompetenzen

      • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(m\) und \(n\) einer Linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten
      • Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
    • Aufgabe 5.g

      Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und den Selbstkosten \(k\) korrekt beschreibt.

      Lösung

      Einsetzen der Wertepaare in die Funktionsgleichung \(k = 0{,}8 \cdot z + 24000\) ergibt:

      \[\begin{array}{l}34400 = 0,8 \cdot 13000 + 24000 \quad (w)\\36000 = 0,8 \cdot 15000 + 24000 \quad (w)\\37600 = 0,8 \cdot 17000 + 24000 \quad (w)\end{array}\]
       

      Kompetenzen

      • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion erfüllen.
    • Aufgabe 5.h

      Gib die Werte des Steigungsfaktors \(m\) und des Achsenabschnitts \(n\) mit den jeweiligen Maßeinheiten an.

      Erläutere die Bedeutung des Steigungsfaktors \(m\) und des Achsenabschnitts \(n\) im Sachzusammenhang.

      Lösung

      Der Steigungsfaktor ist \(m = 0{,}8\) bzw. mit Einheiten \(m = 0{,}80\,\frac{\rm{€}}{\rm{Stk}}\).
      Wenn man die Stückzahl um 1Stk erhöht, erhöhen sich die Stückkosten um \(0{,}80\,\rm{€}\).

      Der Achsenabschnitt ist \(n=24000\) bzw. mit Einheiten \(n=24000,-\rm{€}\).
      Wenn man keinen Aufkleber herstellt, betragen die Stückkosten \(24000,-\rm{€}\). Es handelt sich hierbei um die Fixkosten, die unabhängig von der Anzahl der hergestellten Aufkleber sind.

      Kompetenzen

      • Interpretieren des Steigungsfaktors einer Linearen Funktion im Sachzusammenhang
      • Interpretieren des Achsenabschnitts einer Linearen Funktion im Sachzusammenhang
    • Aufgabe 5.i

      Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und den Selbstkosten \(k\) graphisch darstellt.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung der Selbstkosten in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Graph und Term

      Kompetenzen

      • Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
    • Aufgabe 5.j

      Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe dein Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 5.d bzw. 5.i.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

      \[k\left( {9500} \right) = 0{,}8 \cdot 9500 + 24000 = 7600 + 24000 = 31600\]
       

      Lösung mit GeoGebra
      k(z):=0.8*z+24000
      k(9500)

      Bei einer wöchentlichen Produktion von 9500 Aufklebern belaufen sich die Selbstkosten auf 31600,-€.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Linearen Funktion
      • Berechnen des Wertes eines Linearen Terms
    • Aufgabe 5.k

      Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe dein Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 5.d bzw. 5.i.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle zum Funktionswert 40000, setzt also den Funktionsterm gleich 40000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \[\begin{aligned}k\left( z \right) &= 40000\\0{,}8 \cdot z + 24000 &= 40000 \quad \left| { - 24000} \right.\\0{,}8 \cdot z &= 16000 \quad \left| {:0{,}8} \right.\\z &= 20000\\L &= \left\{ {20000} \right\}\end{aligned}\]
       

      Lösung mit GeoGebra
      k(z):=0.8*z+24000
      Löse(k(z)=40000,z)

      Die Selbstkosten betragen 40000,-€, wenn 20000 Aufkleber produziert werden.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Linearen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Linearen Gleichung

  • Stückzahl und Gewinn

    • Schlau und Listig starten einen erneuten Anlauf:

      „Ja können Sie denn nicht Eins und Eins zusammenzählen? Die betriebswirtschaftliche Zielgröße, das sollten Sie aber auch wissen, ist nicht der Umsatz, sondern der Gewinn. Und der ist nun mal die Differenz von Umsatz und Kosten. Sie können sich doch denken, was ich wissen will: Machen wir bei einer Stückzahl von 9500 überhaupt Gewinn? Bei welcher Stückzahl machen wir einen Gewinn von 1000,-€? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Gewinn? Und was mich am meisten interessiert: Bei welcher Stückzahl machen wir den größten Gewinn, wie hoch ist der dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Und zwar nicht nur über den Daumen gepeilt, sondern exakt. Oder wollen Sie vielleicht aufgrund von ein paar Bildchen die Firma in die Pleite treiben? Mit mir nicht! Hier geht's auf Nummer sicher. Rechnung!“

      Wieder schleichen die beiden wie begossene Pudel davon. Dazu hättest du überhaupt keinen Grund, denn auch bei der Lösung dieser Aufgabe kannst du mit deinem bisher gewonnen Wissen eine Menge anfangen.

      Bemerkung: Du kannst alle Rechnungen ohne Maßeinheiten durchführen und auch den Funktionsterm oder die Funktionsgleichung ohne Maßeinheiten angeben. Du musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben und die Parameter des Funktionsterms mit Maßeinheiten interpretieren können.

    • Aufgabe 6.a

      Markiere – am besten mit einem Textmarker – diejenigen Textstellen, die dir für eine mathematische Lösung des Problems wichtig erscheinen.

      Lösung

      „Ja können sie denn nicht Eins und Eins zusammenzählen? Die betriebswirtschaftliche Zielgröße, das sollten Sie aber auch wissen, ist nicht der Umsatz, sondern der Gewinn. Und der ist nun mal die Differenz von Umsatz und Kosten. Sie können sich doch denken, was ich wissen will: Machen wir bei einer Stückzahl von 9500 überhaupt Gewinn? Bei welcher Stückzahl machen wir einen Gewinn von 1000,-€? Bei welchen Stückzahlen machen wir überhaupt Gewinn? Und was mich am meisten interessiert: Bei welcher Stückzahl machen wir den größten Gewinn, wie hoch ist der dann und zu welchem Preis müssen wir dazu die Aufkleber verkaufen? Und zwar nicht nur über den Daumen gepeilt, sondern exakt. Oder wollen Sie vielleicht aufgrund von ein paar Bildchen die Firma in die Pleite treiben? Mit mir nicht! Hier geht's auf Nummer sicher. Rechnung!“

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 6.b

      Vervollständige die folgende Tabelle.

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Umsatz u in €

      35100

      36400

      37500

      38400

      39100

      39900

      39900

      39100

      Selbstkosten k in €

      34400

      35200

      36000

      36800

      37600

      39200

      40800

      32400

      Gewinn g in €

       

       

       

       

       

       

       

       
       
      Tipp

      Der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Selbstkosten.

      Lösung

      Stückzahl z in Stk

      13000

      14000

      15000

      16000

      17000

      19000

      21000

      23000

      Umsatz u in €

      35100

      36400

      37500

      38400

      39100

      39900

      39900

      39100

      Selbstkosten k in €

      34400

      35200

      36000

      36800

      37600

      39200

      40800

      32400

      Gewinn g in €

      700

      1200

      1500

      1600

      1500

      700

      -900

      -3300
       

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts.
    • Aufgabe 6.c

      Erstelle ein dem Problem angemessenes Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\). Dabei soll die Stückzahl auf der Rechtsachse und der Gewinn auf der Hochachse aufgetragen werden.

      Rechtsachse: 1cm entspricht 2500Stk; Hochachse: 1cm entspricht 2500,-€.

      Lösung Koordinatensystem zur Darstellung des Gewinns in Abhängigkeit von der Stückzahl

      Kompetenzen

      • Anfertigen eines beschrifteten und skalierten Koordinatensystems, das dem Sachzusammenhang angemessen ist.
    • Aufgabe 6.d

      Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein.

      Verbinde die Punkte durch einen Graphen.

      Nenne den Typ dieses Graphen.

      Lösung Koordinatensystem zur Darstellung des Gewinns in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Wertepaaren und Graph

      Der Graph ist eine Parabel.

      Kompetenzen

      • Eintragen von Punkten in ein Koordinatensystem
      • Erkennen eines parabelförmigen Verlaufs von Punkten
    • Aufgabe 6.e

      Nenne aufgrund des Graphen den Funktionstyp, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) beschreibt.

      Gib zwei Formen des Funktionsterms dieses Funktionstyps an.

      Erläutere die Bedeutung der wichtigsten Parameter, die in den jeweiligen Funktionstermen vorkommen.

      Lösung

      Da es sich bei dem Graphen um eine Parabel handelt, wird der Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) durch eine Quadratische Funktion beschrieben.

      Der Funktionsterm einer Quadratischen Funktion lautet in Allgemeiner Form\[g\left( z \right) = a \cdot {z^2} + b \cdot z + c\]und in Scheitelpunktform\[g\left( z \right) = a \cdot {\left( {z - d} \right)^2} + e\]

      Dabei heißt \(a\) Öffnungs-, Streckungs- oder Stauchungsfaktor. Er gibt durch sein Vorzeichen an, ob die Parabel nach oben (+) oder nach unten (-) geöffnet ist, Weiter gib der Öffnungsfaktor durch seinen Betrag an, ob die Parabel enger (>1) oder weiter (<1) als die Normalparabel verläuft.

      Weiter heißt \(c\) der Achsenabschnitt. Es handelt sich dabei um den Funktionswert an der Stelle Null, also die Schnittstelle des Graphen mit der Hochachse.

      Die Parameter \(d\) und \(e\) liefern die Koordinaten des Scheitelpunktes, also \({\rm{S}}\left( {d|e} \right)\).

    • Aufgabe 6.f

      Bestimme auf zwei unterschiedlichen Wegen den Funktionsterm , der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\) und dem Gewinn \(g\) beschreibt.

      1. Weg

      Leite den Funktionsterm durch Kombinieren der Zusammenhänge zwischen Stückzahl, Umsatz und Selbstkosten her.

      Tipp

      Der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Selbstkosten, der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Umsatz lautet \(u(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z\), der Zusammenhang zwischen Stückzahl und Selbstkosten lautet \(k(z)=0{,}8 \cdot z + 24000\).

      Lösung
      \[\begin{aligned}g(z) &= u(z) - k(z)\\ &= -0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - \left( 0{,}8 \cdot z + 24000 \right) \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} + 4 \cdot z - 0{,}8 \cdot z - 24000 \\ &=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000 \end{aligned}\]
       

      Kompetenzen

      • Modellieren eines Sachverhalts
      • Einfache Termumformungen
      2. Weg

      Berechne die Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) gleichzeitig mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems.

      Lösung

      Wir nutzen die drei Punkte \({\rm{P}}(13000|700)\), \({\rm{Q}}(15000|1500)\) und \({\rm{R}}(17000|1500)\).

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= g(13000)\\1500 &= g(15000)\\1500 &= g(17000)\end{aligned} \right.}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\1500 &= 225000000 \cdot a + 15000 \cdot b + c\\1500 &= 289000000 \cdot a + 17000 \cdot b + c\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right. \rightarrow {\rm{I'}}:\;-700 = -169000000 \cdot a - 13000 \cdot b - c}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\\{\left| { + \;{\rm{I'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\800 &= 120000000 \cdot a + 4000 \cdot b\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{{}}\\{\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right. \rightarrow {\rm{II'}}:\;-1600 = 112000000 \cdot a - 4000 \cdot b}\\{\left| { + \;{\rm{II'}}} \right.}\end{array}}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}700 &= 169000000 \cdot a + 13000 \cdot b + c\\800 &= 56000000 \cdot a + 2000 \cdot b\\ - 800 &= 8000000 \cdot a\end{aligned} \right.}&{\begin{array}{l}{}\\{}\\{ \Rightarrow a =  - 0{,}0001}\end{array}}&\begin{array}{l}\\\left. \begin{array}{l}\\\end{array} \right\} \Rightarrow b = 3{,}2\end{array}&{\left. \begin{array}{l}\\\\\end{array} \right\} \Rightarrow c = -24000}\end{array}\)

      \(\begin{array}{l}{\left| \begin{aligned}-24000 &= c\\3{,}2 &= b\\ - 0{,}0001 &= a\end{aligned} \right.}\end{array}\)

       

      Lösung mit GeoGebra
      g(z):=a*z^2+b*z+c
      Löse({700=g(13000),1500=g(15000),1500=g(17000)},{a,b,c})

      Daher lautet der Funktionsterm \(g(z)=-0{,}0001 \cdot {z^2} +3{,}2 \cdot z -24000\).

      Kompetenzen

      • Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Parameter \(a\), \(b\) und \(c\) des Funktionsterms einer Quadratischen Funktion in Allgemeiner Form mit Hilfe von drei Punkten
      • Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen
    • Aufgabe 6.g

      Überprüfe rechnerisch, ob dein Funktionsterm den Zusammenhang zwischen der Stückzahl und dem Gewinn korrekt beschreibt.

      Lösung

      Einsetzen dreier Wertepaare in die Funktionsgleichung \(g = -0{,}0001 \cdot z^2 + 3{,}2 \cdot z - 24000\) ergibt

      \(\begin{aligned}700 &= -0{,}0001 \cdot 13000^2 + 3{,}2 \cdot 13000 - 24000 \quad (w)\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 15000^2 + 3{,}2 \cdot 15000 - 24000 \quad (w)\\1500 &= -0{,}0001 \cdot 17000^2 + 3{,}2 \cdot 17000 - 24000 \quad (w)\end{aligned}\)
       

      Kompetenzen

      • Überprüfen, ob Wertepaare die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion erfüllen
    • Aufgabe 6.h

      Erstelle mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen den Funktionsgraphen, der den Zusammenhang zwischen der Stückzahl \(z\)  und dem Gewinn \(g\) graphisch darstellt.

      Lösung

      Koordinatensystem zur Darstellung des Gewinns in Abhängigkeit von der Stückzahl mit Graph und Term

      Kompetenzen

      • Erstellen eines Funktionsgraphen mit Hilfe eines Funktionsgraphenplotters in einem dem Problem angemessenen Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen
    • Aufgabe 6.i

      Beantworte rechnerisch die erste von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

      Lösung

      Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Funktionswert zur Stelle 9500, setzt also 9500 in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert.

      \(g\left( 9500 \right) = - 0{,}0001 \cdot 9500^2 + 3{,}2 \cdot 9500 - 24000 = -2625\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
      g(9500)

      Wenn die Firma 9500 Aufkleber verkauft, macht sie keinen Gewinn, sondern einen Verlust von 2625,- €.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen eines Funktionswertes zu einer vorgegebenen Stelle einer Quadratischen Funktion
      • Berechnen des Wertes eines Quadratischen Terms
    • Aufgabe 6.j

      Beantworte rechnerisch die zweite von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

      Lösung

      Zur Beantwortung der zweiten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 1000, setzt also den Funktionsterm gleich 1000 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 1000 \quad|-1000\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -25000 &= 0\end{aligned}\)
       

      Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung

      \(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 25000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,250000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2\, {+\,250000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\, {+\,60000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - \left( 1000 \cdot \sqrt{6} \right)^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 1000 \cdot \sqrt{6}} \right) &= 0\\z \approx 13550{,}5 &\vee z \approx 18449{,}5\\L &\approx \left\{ {13550{,}5\,;\,18449{,}5} \right\}\end{aligned}\)
       

      oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

      \(\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {-3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-25000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}24}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & \approx 13550{,}5\; ; \;{z_2} \approx 18449{,}5\\L &\approx \left\{ {13550{,}5\,;\,18449{,}5} \right\}\end{aligned}\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
      Löse(g(z)=1000,z)

      Die Firma macht ungefähr 1000,-€ Gewinn, wenn sie entweder 13550 oder aber 18450 Aufkleber verkauft.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
    • Aufgabe 6.k

      Beantworte rechnerisch die dritte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

      Lösung

      Zur Beantwortung der dritten Frage berechnet man die Stelle/n zum Funktionswert 0, setzt also den Funktionsterm gleich 0 und bestimmt die Lösungsmenge der entstehenden Gleichung.

      \(\begin{aligned}g\left(z\right) &= 0\\ - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000 &= 0\end{aligned}\)
       

      Diese quadratische Gleichung löst du entweder durch quadratische Ergänzung

      \(\begin{aligned} -0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z - 24000 &= 0 \quad|:(-0{,}0001)\\{z^2} - 32000 \cdot z \,{+\,240000000} &= 0\\{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z + 16000^2 - 16000^2 \,{+\,240000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2}\,{-\,16000000} &= 0\\{\left( {z - 16000} \right)^2} - 4000^2 &= 0\\\left( {z - 16000 + 4000} \right) \cdot \left( {z - 16000 - 4000 } \right) &= 0\\z = 12000 &\vee z = 20000\\L &= \left\{12000\,;\,20000\right\}\end{aligned}\)
       

      oder aber mit der allgemeinen Lösungsformel (Mitternachtsformel)

      \(\begin{aligned}{z_{1/2}} &= \frac{{ - 3{,}2 \pm \sqrt {3{,}2^2 - 4 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right) \cdot \left( {-24000} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 0{,}0001} \right)}}\\{z_{1/2}} & = \frac{{-3{,}2 \pm \sqrt{0{,}64}}}{{ - 0{,}0002}}\\{z_1} & = 12000\; ; \;{z_2} = 20000\\L &= \left\{ {12000\,;\,20000} \right\}\end{aligned}\)
       

      Lösung mit GeoGebra
      g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
      Löse(g(z)=0,z)

      Die Firma macht Gewinn, wenn sie mehr als 12000 und weniger als 20000 Aufkleber verkauft.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Berechnen der Stelle/n zu einem vorgegebenen Funktionswert einer Quadratischen Funktion
      • Bestimmen der Lösungsmenge einer Quadratischen Gleichung
    • Aufgabe 6.l

      Beantworte rechnerisch die vierte von Herrn Zickler gestellte Frage.

      Überprüfe das Ergebnis anhand der Graphen aus den Aufgaben 6.d bzw. 6.h.

      Lösung

      Zur Beantwortung der vierten Frage wandelt man den Funktionsterm zuerst aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform um.

      \(\begin{aligned}g\left( z \right) &= - 0{,}0001 \cdot {z^2} + 3{,}2 \cdot z -24000\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 32000 \cdot z\, {+\,240000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{z^2} - 2 \cdot 16000 \cdot z} + 16000^2 - 16000^2\, {+\,240000000} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot \left[ {{{\left( {z - 16000} \right)}^2}\, {-\,16000000}} \right]\\ &= - 0{,}0001 \cdot {\left( {z - 16000} \right)^2} +1600\end{aligned}\)
       

      Da die Parabel wegen \(a=-0{,}0001 < 0\) nach unten geöffnet ist, liegt der größte Funktionswert an der Stelle des Scheitelpunktes, also bei \(z = 16000\) mit dem Funktionswert \(g=1600\).

      Wenn die Firma wöchentlich 16000 Aufkleber verkauft, dann ist der Gewinn am größten und beträgt 1600,-€.

      Das Ergebnis lässt sich am Graphen bestätigen.

      Um diesen maximalen Gewinn zu erzielen, muss ein Aufkleber wegen \[p(16000)=-0{,}0001 \cdot 16000 + 4 = 2{,}4\]zum Preis von 2,40€ verkauft werden.

      Lösung mit GeoGebra
      g(z):=-0.0001*z^2+3.2*z-24000
      Extremum(g(z))
      p(z):=-0.0001*z+4
      p(1600)

      Kompetenzen

      • Mathematisieren eines Sachverhalts
      • Umwandeln des Terms einer Quadratischen Funktion aus der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
      • Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts aus dem Term der Scheitelpunktform

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