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  • Wie berechne ich das Skalarprodukt zweier Vektoren?

    • Sprechen wir in der Analytischen Geometrie vom "Skalarprodukt" zweier Vektoren, dann meinen wir damit lediglich eine - zuerst einmal völlig willkürlich erscheinende - Rechenvorschrift für das "Zusammenrechnen" der einzelnen Komponenten der beiden Vektoren.

      Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei Vektoren, dann bezeichnet man als Skalarprodukt \(\vec u \cdot \vec v\) der beiden Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) den Term\[\vec u \cdot \vec v = {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3} \in \mathbb{R}\]Das Ergebnis, also der Wert des Skalarprodukts, ist kein Vektor, sondern eine einfache reelle Zahl (man sagt in der Analytischen Geometrie oft auch Skalar zu solchen einfachen Zahlen - daher der Name Skalarprodukt).

      Im folgenden Video erklärt dir Jenny von "Einfach Mathe!" an einem konkreten Beispiel, wie du den Wert des Skalarprodukts zweier Vektoren berechnen kannst.

      Natürlich ist die Rechenvorschrift "Skalarprodukt" nicht einfach willkürlich gewählt: Mit Hilfe des Skalarproduktes kannst du die Länge/Betrag eines Vektors (und damit den Abstand zweier Punkte) und die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen. Das Skalarprodukt ist also gewissermaßen das Geodreieck der Analytischen Geometrie, denn auch mit dem Geodreieck kannst du Längen und Winkelweiten bestimmen. Mehr dazu aber auf den folgenden Seiten.

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      Berechne den Wert des Skalarprodukts der beiden Vektoren! H5P
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      Rechenregeln für das Skalarprodukt von Vektoren Page

  • Wie berechne ich den Betrag/die Länge eines Vektors?

    • Wir hatten bereits auf der Eingangsseite angekündigt, dass man mit Hilfe des Skalarproduktes die Länge eines Vektors berechnen kann.

      Ist z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) ein Vektor. Dann berechnet sich der Betrag (oder die Länge) \(\left| {\vec u} \right|\) (oder manchmal auch \(\left\| {\vec u} \right\|\)) des Vektors \(\vec u\) durch\[\left| {\vec u} \right| = \sqrt {\vec u \cdot \vec u} \;\;\;\left( { = \sqrt {{u_1} \cdot {u_1} + {u_2} \cdot {u_2} + {u_3} \cdot {u_3}} = \sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} } \right)\]Im folgenden Video erklärt dir Dirk Blotevogel an einem konkreten Beispiel, wie du den Betrag/die Länge eines Vektors berechnen kannst.

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      Berechne den Betrag/die Länge des Vektors! H5P

  • Wie berechne ich den Abstand zweier Punkte?

    • Wir hatten bereits auf der Eingangsseite angekündigt, dass man mit Hilfe des Skalarproduktes den Abstand zweier Punkte (und damit die Länge einer Strecke) berechnen kann.

      Sind z.B. \({\rm{A}}\left( {{a_1}|{a_2}|{a_3}} \right)\) und \({\rm{B}}\left( {{b_1}|{b_2}|{b_3}} \right)\) zwei Punkte. Dann berechnet sich der Abstand \(\left| {\overline {{\rm{AB}}} } \right|\) der Punkte \(\rm{A}\) und \(\rm{B}\) (das ist die Länge der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}}\)) durch die Länge des Verbindungsvektors \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} - {a_1}}\\{{b_2} - {a_2}}\\{{b_3} - {a_3}}\end{array}} \right)\), d.h. \[\left| {\overline {{\rm{AB}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right|\;\;\;\left( { = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1} - {a_1}}\\{{b_2} - {a_2}}\\{{b_3} - {a_3}}\end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {{b_1} - {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_3} - {a_3}} \right)}^2}} } \right)\]Im folgenden Video erklärt dir Jenny von "Einfach Mathe!" an einem konkreten Beispiel, wie du den Abstand zweier Punkte berechnen kannst.

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      Berechne den Abstand der beiden Punkte! H5P

  • Wie berechne ich die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren?

    • Wir hatten bereits auf der Eingangsseite angekündigt, dass man mit Hilfe des Skalarproduktes Winkelweiten, genauer die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen kann.

      Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei vom Nullvektor \(\vec 0\) verschiedene Vektoren. Unter dem Winkel zwischen den Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) versteht man den nicht überstumpfen Winkel zwischen den beiden die Vektoren repräsentierenden Pfeile. Die Weite dieses Winkels bezeichnet man meistens mit dem griechischen Buchstaben \(\varphi \), (gelesen "Phi"), sie hat die Maßeinheit (\(1^\circ \)).

      Diese Winkelweite \(\varphi\) berechnet sich durch\[\cos (\varphi ) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}}\;\;\;\left( { = \frac{{{u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3}}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \cdot \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}} \right)\]bzw.\[\varphi = \arccos \left( {\frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}}} \right)\;\;\;\left( { = \arccos \left( {\frac{{{u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3}}}{{\sqrt {{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \cdot \sqrt {{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2} }}} \right)} \right)\]Im folgenden Video erklärt dir Jenny von "Einfach Mathe!" an einem konkreten Beispiel, wie du die Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen kannst.

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      Berechne die Weite des Winkels zwischen den beiden Vektoren! H5P

  • Orthogonale/Senkrechte Vektoren

    • Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei vom Nullvektor \(\vec 0\) verschiedene Vektoren.

      Dann liegen die beiden Vektoren genau dann orthogonal/senkrecht zueinander (wir schreiben dafür \(\vec u \,\bot \,\vec v\)), wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren den Wert \(0\) hat:\[\vec u \,\bot \,\vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0\]bzw. das Gleiche ganz ausführlich aufgeschrieben\[{\vec u \,\bot \,\vec v \Leftrightarrow {u_1} \cdot {v_1} + {u_2} \cdot {v_2} + {u_3} \cdot {v_3} = 0}\]

      Dies lässt sich übrigens leicht aus der Formel zur Berechnung der Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren ableiten.

      Untersuche, ob zwei Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander liegen!

      Im folgenden Video erklärt dir Christoph von "mathehoch13.de" wie man prüft, ob zwei Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander liegen.

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      Untersuche, ob zwei Vektoren orthogonal/senkrecht zueinander liegen! H5P
    • Bestimme einen Vektor, der orthogonal/senkrecht zu einem gegebenen Vektor liegt!

      Zuerst einmal ein Erklärvideo von Christoph von "mathehoch13".

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      Bestimme einen Vektor, der orthogonal/senkrecht zu einem gegebenen Vektor liegt! H5P
    • Bestimme einen Vektor, der orthogonal/senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren liegt!

      Zuerst einmal ein Erklärvideo von Jenny von "Einfach Mathe!". Das Lineare Gleichungssystem ab Minute 3:42 kannst du natürlich auch mit dem GTR lösen.

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      Bestimme einen Vektor, der orthogonal/senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren liegt! H5P

  • Parallele und antiparallele Vektoren

    • Sind z.B. \(\vec u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}\\{{u_2}}\\{{u_3}}\end{array}} \right)\) und \(\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_1}}\\{{v_2}}\\{{v_3}}\end{array}} \right)\) zwei vom Nullvektor \(\vec 0\) verschiedene Vektoren.

      Dann liegen die beiden Vektoren genau dann parallel (wir schreiben dafür \(\vec u \,\uparrow \uparrow \,\vec v\)) oder antiparallel (wir schreiben dafür \(\vec u \,\uparrow \downarrow \,\vec v\)) zueinander, wenn gilt:\[\vec u \,\uparrow \uparrow \,\vec v \Leftrightarrow {\vec u \cdot \vec v} = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|\] \[\vec u \,\uparrow \downarrow \,\vec v \Leftrightarrow {\vec u \cdot \vec v} = - \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|\]

      Dieses Kriterium zur Überprüfung, ob zwei Vektoren parallel oder antiparallel zueinander liegen, das sich übrigens leicht aus der Formel zur Berechnung der Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren ableiten lässt, ist allerdings sehr unhandlich und wird in der Praxis nicht genutzt.